Frequenza del filtro

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Frequenza del filtro Nomi comuni: Filtri di frequenza Breve descrizione Filtri di frequenza elaborare un'immagine nel dominio delle frequenze. L'immagine viene trasformata di Fourier. moltiplicato con la funzione di filtro e poi ri-trasformato nel dominio spaziale. Attenuanti alte frequenze risultati in un'immagine più uniforme nel dominio spaziale, attenuando le basse frequenze migliora i bordi. Tutti i filtri di frequenza possono essere attuate anche nel dominio spaziale e, se esiste un semplice kernel per l'effetto filtro desiderato, è computazionalmente meno costoso per eseguire il filtraggio nel dominio spaziale. Filtraggio in frequenza è più appropriato se nessun kernel lineare può essere trovata nel dominio spaziale, e può anche essere più efficiente. Come funziona Filtraggio in frequenza è basata sulla trasformata di Fourier. (Per la seguente discussione si assume una certa conoscenza della trasformata di Fourier, quindi è vantaggioso se avete già letto il foglio di lavoro corrispondente.) L'operatore di solito richiede un'immagine e una funzione di filtro nel dominio di Fourier. Questa immagine viene poi moltiplicato con la funzione di filtro in un pixel per pixel modo: dove F (k, l) è l'immagine in ingresso nel dominio di Fourier, H (k, l) la funzione di filtro e G (k, l) è l'immagine filtrata. Per ottenere l'immagine risultante nel dominio spaziale, G (k, l) deve essere nuovamente trasformata utilizzando la trasformata di Fourier inversa. Poiché la moltiplicazione nello spazio di Fourier è identica a convoluzione nel dominio spaziale, tutti i filtri di frequenza possono in teoria essere implementati come un filtro spaziale. Tuttavia, in pratica, la funzione di filtro di dominio di Fourier può essere approssimata dal kernel filtraggio nel dominio spaziale. La forma della funzione filtro determina gli effetti del gestore. Ci sono fondamentalmente tre diversi tipi di filtri: passa-basso. filtri passa-alto e passa-banda. Un filtro passa-basso attenua le frequenze alte e basse frequenze mantiene invariato. Il risultato nel dominio spaziale è equivalente a quella di un filtro di livellamento; come le alte frequenze bloccate corrispondono a variazioni di intensità taglienti, vale a dire ai dettagli a scala fine e il rumore nell'immagine dominio spaziale. Un filtro passa-alto, invece, produce aumento di bordo o rilevamento dei bordi nel dominio spaziale, perché bordi contengono molte alte frequenze. Aree di piuttosto costante livello di grigio consistono prevalentemente basse frequenze e sono pertanto soppressi. Una banda passante attenua le frequenze molto basse e molto alte, ma mantiene una banda gamma centrale di frequenze. Filtraggio passabanda può essere utilizzato per migliorare bordi (soppressione basse frequenze) riducendo il rumore contemporaneamente (attenuando alte frequenze). Il filtro passa-basso è il più semplice passabasso ideale. Si sopprime tutte le frequenze superiori alla frequenza di taglio e lascia le frequenze più piccoli invariato: Nella maggior parte delle implementazioni, è dato come una frazione della frequenza più alta rappresentato nell'immagine dominio di Fourier. Lo svantaggio di questa funzione filtro è un effetto di risonanza che si verifica lungo i bordi dell'immagine dominio spaziale filtrata. Questo fenomeno è illustrato nella figura 1, che mostra la forma del filtro unidimensionale sia della frequenza e domini spaziali per due diversi valori di. Si ottiene la forma del filtro bidimensionale ruotando queste funzioni sulla y. Come accennato in precedenza, la moltiplicazione nel dominio di Fourier corrisponde ad una convoluzione nel dominio spaziale. A causa delle molteplici picchi del filtro ideale nel dominio spaziale, l'immagine filtrata produce squillo lungo intensità bordi nel dominio spaziale. Figura 1 passa-basso ideale in frequenza e dominio spaziale. Migliori risultati possono essere raggiunti con una funzione di filtro a forma gaussiana. Il vantaggio è che la gaussiana ha la stessa forma nei domini spaziali e Fourier e quindi non comporta l'effetto di chiamata nel dominio spaziale dell'immagine filtrata. Approssimazione discreta utilizzato Amonly alla gaussiana è il filtro Butterworth. Applicando questo filtro nel dominio della frequenza mostra un risultato simile alla lisciatura gaussiana nel dominio spaziale. Una differenza è che il costo theputational dei filtri spaziali aumenta con la deviazione standard (cioè con la dimensione del kernel filtrare), mentre i costi per un filtro di frequenza sono indipendenti dalla funzione di filtro. Quindi, il filtro gaussiano spaziale è più appropriato per filtri passa basso stretti, mentre il filtro Butterworth è un'implementazione meglio per filtri passa basso larghi. Gli stessi principi si applicano ai filtri passa alto. Si ottiene una funzione filtro passa-alto invertendo il filtro passa-basso corrispondente, ad esempio un ideale blocca filtro passa-alto tutte le frequenze inferiori a e lascia le altre invariate. Filtri passa-banda sono abination di entrambi i filtri passa-basso e passa-alto. Essi attenuano tutte le frequenze inferiori a una frequenza superiore e una frequenza, mentre le frequenze tra i due cut-off rimangono l'immagine in uscita conseguente. Si ottiene la funzione di filtro di una banda passante moltiplicando le funzioni di filtro passa-basso di un e di un passa-alto nel dominio della frequenza, in cui la frequenza di taglio del filtro passa basso è superiore a quella del passa-alto. Invece di utilizzare una delle funzioni di filtro standard, possiamo anche creare la nostra maschera di filtro, aumentando così o sopprimere solo determinate frequenze. In questo modo si potrebbe, ad esempio, rimuovere i motivi periodiche con una certa direzione nell'immagine dominio spaziale risultante. Linee guida per l'uso Filtri nel dominio della frequenza sono mostmonly utilizzati come filtri passa-basso. Dimostreremo questa performance con Copting questa immagine con rumore gaussiano con media zero e una deviazione standard di 8 rendimenti Possiamo ridurre questo tipo di rumore utilizzando un filtro passa-basso, perché il rumore consiste in gran parte di alte frequenze, che sono attenuati da un filtro passa-basso. è il risultato dell'applicazione di un filtro passa-basso ideale all'immagine rumoroso con la frequenza di essere cut-off. Anche se siamo riusciti a ridurre l'elevato rumore di frequenza, questa immagine non è di alcuna utilità pratica. Abbiamo perso troppi dettagli a scala fine e l'immagine presenta forti squillo a causa della forma del filtro ideale passa-basso. Applicare lo stesso filtro con una frequenza di taglio di 0,5 rendimenti Poiché questo filtro mantiene un numero maggiore di frequenze, maggiori dettagli rimangono nell'immagine di uscita. L'immagine è meno sfocata, ma contiene anche più rumore. Il suono è meno grave, ma esiste ancora. Migliori risultati possono essere raggiunti con un filtro Butterworth. Otteniamo con una frequenza di taglio di. Questa immagine non mostra alcun suono visibile e solo poco rumore. Tuttavia, ha anche perso un po 'informazioni sull'immagine, cioè i bordi sono sfocate e l'immagine contiene meno dettagli rispetto all'originale. Per mantenere più particolari, si aumenta la frequenza di taglio a 0,5, come si può vedere nella Questa immagine è meno sfocata, ma contiene anche una quantità ragionevole di rumore. In generale, quando si utilizza un filtro passa-basso per ridurre il rumore ad alta frequenza, abbiamo topromise alcune informazioni ad alta frequenza desiderabile se vogliamo appianare notevoli quantità di rumore. L'effetto di chiamata proveniente dalla forma del passa-basso ideale può essere meglio illustrata utilizzando questa immagine artificiale. L'immagine è un'immagine binaria di un rettangolo. Filtraggio questa immagine con un filtro passa-basso ideale rendimenti (frequenza di taglio) Il suono è già riconoscibile in questa immagine, ma è molto più evidente in che si ottiene dopo una equalizzazione istogramma. L'effetto diventa ancora peggiore se blocchiamo più delle frequenze contenute nell'immagine in ingresso. Per ottenere abbiamo usato una frequenza di taglio di. Oltre al (desiderato) lisciare l'immagine contiene anche un suono grave che chiaramente visibile anche senza equalizzazione. Possiamo anche vedere che la frequenza di taglio corrisponde direttamente alla frequenza del suono, cioè come raddoppiamo la frequenza di taglio, si raddoppia la distanza tra due anelli. L'immagine è stata filtrata con un filtro Butterworth utilizzando una frequenza di taglio di. In contrasto con gli esempi precedenti, questa immagine non mostra alcuna suoneria. Illustreremo gli effetti di filtraggio in frequenza passa-alto con anche. Come risultato di attenuare (o blocco) le basse frequenze, le zone di intensità costante dell'immagine di input sono zero l'uscita del filtro passa-alto. Aree di un forte gradiente di intensità, contenenti le alte frequenze, hanno valori di intensità positivi e negativi in ​​uscita del filtro. Per visualizzare l'immagine sullo schermo, un offset viene aggiunto all'uscita nel dominio spaziale e le intensità di immagine vengono scalati. Ciò si traduce in un grayvalue mezzo per le zone a bassa frequenza e valori chiari e scuri per i bordi. L'immagine mostra l'uscita di un passa-alto Butterworth con la frequenza di taglio essendo 0,5. Un modo alternativo per visualizzare l'uscita del filtro è di prendere il valore assoluto del dominio spaziale dell'immagine filtrata. Se applichiamo questo metodo per l'immagine Pagliaccio (e soglia il risultato con 13) otteniamo che è un'immagine bordo prodotta dall'operatore Sobel e, quindi, mostra il valore assoluto della grandezza bordo. Possiamo vedere che l'operatore Sobel rileva i contorni meglio del filtro passa-alto. In generale, filtri spaziali sono moremonly utilizzati per il rilevamento dei bordi, mentre i filtri di frequenza sono più spesso utilizzati per dare enfasi ad alta frequenza. Qui, il filtro non blocca completamente basse frequenze, ma ingrandisce alte frequenze rispetto alle basse frequenze. Questa tecnica è utilizzata nell'industria della stampa per Crispen bordi dell'immagine. Filtri di frequenza sono molto utili durante l'elaborazione di parti di un'immagine che può essere associato con determinate frequenze. Ad esempio, in ogni parte della casa è fatta di strisce di frequenza e orientamento diverso. Il corrispondente Fourier Transform (dopo equalizzazione può essere visto in Possiamo vedere i picchi principali nell'immagine corrispondente ai modelli periodici nell'immagine dominio spaziale che ora accessibili separatamente. Per esempio, possiamo smussare le strisce verticali (cioè thoseponents che compongono la parete nell'immagine dominio spaziale) moltiplicando l'immagine Fourier con la maschera di frequenza L'effetto è che tutte le frequenze all'interno del rettangolo nero sono impostati a zero, gli altri rimangono invariati. Applicando la trasformata di Fourier trasformazione inversa e normalizzare le rese immagine risultanti nel dominio spaziale. Anche se l'immagine mostra alcuni schemi regolari in background precedentemente costante, le strisce verticali sono quasi totalmente rimosse mentre gli altri modelli sono rimasti per lo più invariati. Possiamo anche usare filtraggio in frequenza per ottenere l'effetto opposto, cioè trovare tutte le caratteristiche nell'immagine con certe caratteristiche nel dominio della frequenza. Per esempio, se vogliamo mantenere le strisce verticali (cioè il muro), nell'immagine sopra, possiamo usare come maschera. Per eseguire il filtraggio in frequenza trasformiamo sia l'immagine della casa e la maschera nel dominio di Fourier dove si moltiplicano le due immagini con l'effetto che le frequenze che si verificano nella maschera rimangono in uscita, mentre gli altri sono impostati a zero. Re-trasformando l'output nel dominio spaziale e normalizzare produce In questa immagine, il modello dominante è quello definito dalla maschera. I valori dei pixel sono i più alti in luoghi che wereposed di questo modello verticale dell'immagine in ingresso e sono pari a zero nella maggior parte delle aree di sfondo. Ora è possibile identificare l'area desiderata applicando una soglia. come si può vedere in Per comprendere questo processo bisogna tenere presente che una moltiplicazione nel dominio di Fourier è identica a una convoluzione nel dominio spaziale. Filtri di frequenza sono alsomonly utilizzati nell'immagine reconsction. Qui, l'obiettivo è quello di eliminare gli effetti di un sistema di imaging non ideale moltiplicando l'immagine nello spazio di Fourier con una funzione appropriata. Il metodo più semplice, chiamato filtraggio inverso, è dividere l'immagine nello spazio di Fourier della funzione di trasferimento ottico (OTF). Illustriamo questa tecnica, nota anche come deconvoluzione, utilizzando Simuliamo un OTF non ideale moltiplicando la trasformata di Fourier dell'immagine con la trasformata di Fourier di un'immagine gaussiana con una deviazione standard di 5. Re-trasformando il risultato nel dominio spaziale produce l'immagine sfocata Possiamo ora reconsct dell'immagine originale utilizzando filtraggio inverso prendendo la trasformata di Fourier della immagine sfocata e dividendolo per la trasformata di Fourier del kernel gaussiano, che è stato utilizzato per sfumare inizialmente l'immagine. L'immagine è mostrata in reconscted Anche se si ottiene, nel caso precedente, esattamente l'immagine originale, questo metodo presenta due problemi principali. In primo luogo, è molto sensibile al rumore. Se, per esempio, aggiungere lo 0,1% di rumore picco per l'immagine sfocata, otteniamo Inverse filtrare l'immagine (come descritto sopra) utilizzando questa immagine per de-sfocatura fornisce il risultato basso contrasto (Si noti che facendo enhancement per enfatizzare le caratteristiche dell'immagine originale può produrre un'immagine molto simile a quello originale, tranne per una perdita dei dettagli). La situazione può essere leggermente migliorata se si ignorano tutti i valori della divisione spazio di Fourier in cui il divisore (cioè il valore del OTF) è sotto una certa soglia. L'effetto di utilizzare una soglia di 3 può essere visto in Tuttavia, se si aumenta la soglia dobbiamo scartare più dei valori di Fourier e quindi perdere più informazioni sull'immagine. Quindi, ci sarà meno successo nel reconscting l'immagine originale. Il secondo problema con questo metodo di ripristino dell'immagine è che abbiamo bisogno di conoscere il sistema organizzato di negoziazione, che copted l'immagine in primo luogo. Se, per esempio, la sfocatura dell'immagine convolvendo con l'immagine gaussiana nel dominio spaziale, otteniamo Sebbene questo dovrebbe teoricamente la stessa immagine ottenuta dalla moltiplicazione del Fourier spaziale, otteniamo piccole differenze dovute ad errori di quantizzazione ed effetti intorno al bordo di un'immagine quando convoluzione nel dominio spaziale. Reconscting l'immagine originale dividendo l'immagine sfocata nello spazio di Fourier con la trasformata di Fourier delle rese gaussiani se usiamo una soglia minima di sistema organizzato di negoziazione 5. Siamo di fronte a un problema simile, se vogliamo deconvolve una vera e propria immagine sfocata come Dal momento che non sappiamo la funzione di trasferimento che ha causato la confusione, dobbiamo stimarlo. Le immagini sono i risultati della stima del OTF con un'immagine gaussiana con una deviazione standard di 3 e 10. rispettivamente, e l'applicazione di un filtraggio inverso con una soglia minima di 10 OTF. Possiamo vedere che l'immagine migliorata solo molto poco, se non del tutto. A causa dei problemi di cui sopra, in casi più pratici vengono utilizzati metodi reconsction più sofisticati. Ad esempio, il filtraggio Wiener e Maximum Entropy filtraggio sono due tecniche che si basano sullo stesso principio come filtraggio inverso, ma producono risultati migliori su immagini reali. Infine, filtraggio in frequenza può essere utilizzata anche per il pattern matching. Ad esempio, si potrebbe desiderare di trovare tutte le località in che sono occupato da una certa lettera, dire X. Per fare questo, è necessario un immagine di una X isolato che può agire come una maschera, in questo caso Per eseguire il pattern matching, trasformiamo sia l'immagine e la maschera nello spazio di Fourier e li moltiplichiamo. Applichiamo l'inverso trasformata di Fourier per l'immagine risultante Fourier e scalare l'uscita di ottenere nel dominio spaziale. Questa immagine è (teoricamente) identico al risultato della convoluzione immagine e la maschera nel dominio spaziale. Quindi, l'immagine mostra valori elevati in posizioni dell'immagine che corrispondono a quelle della maschera. Tuttavia, a parte l'X. questi sono anche altre lettere come la R e la K che corrispondono bene. Infatti, se la soglia l'immagine a 255. come si può vedere in ) Abbiamo due posizioni che indicano una X. uno dei quali è errato. Dal momento che abbiamo moltiplicato le immagini di Fourier twoplex, abbiamo anche cambiato la fase dell'immagine testo originale. Ciò si traduce in uno spostamento costante tra la posizione della lettera in originale e la sua risposta in immagine elaborata. L'esempio mostra che questa semplici methodns in problemi se vogliamo distinguere tra modelli simili o se la maschera e il modello corrispondente dei dati divergono leggermente. Un altro problema comprende il fatto che questa operazione non è né - invariant rotation - né scala. (Nota che ALSON in questi problemi se implementiamo il funzionamento come semplice convoluzione nel dominio spaziale.) Le dimensioni del modello determina se è preferibile eseguire la corrispondente nel dominio spaziale o frequenza. Nel nostro caso (la lettera è stato di circa 10 × 20 pixel); è sostanzialmente più veloce di fare il corrispondente nel dominio della frequenza. Il metodo di cui sopra può essere modificato nel modo seguente: invece di moltiplicare le trasformate di Fourier dell'immagine e la maschera come primo passo, la soglia immagine Fourier della maschera di identificare le frequenze più importanti che compongono la lettera X nella dominio spaziale. Ad esempio, la grandezza scalare Fourier della maschera sopra di 255 e thresholding ad un valore di 10 cede tutte le frequenze con almeno 4% del valore di picco, come si può vedere in Ora, moltiplichiamo questa maschera modificato l'immagine di Fourier del testo con, conservando così solo le frequenze che compaiono anche nella lettera X. Inversa di Fourier Trasformare questa immagine rendimenti Possiamo vedere che la X è la lettera che conserva la sua forma migliore e ha anche i valori di intensità superiore. Thresholding questa immagine rendimenti che identifica correttamente la posizione del X. Sperimentazione Interactive È interattivo può sperimentare con questo operatore cliccando qui. andpare i risultati con le immagini ottenute tramite filtraggio passa-basso. e quindi migliorare l'immagine risultante utilizzando un filtro passa-basso. Quale metodo sarebbe più idoneo e perché? (Ad esempio una finestra, tetto o parete) creando una maschera e moltiplicandolo con la trasformata di Fourier dell'immagine. Riferimenti E. Davies Machine Vision: Teoria, algoritmi e pratici. Academic Press, 1990, cap. 9. R. Gonzalez e R. Woods Digital Image Processing. Addison-Wesley Publishingpany 1992, cap. 4. Filtri R. Hamming digitale. Prentice-Hall, 1983. B. Corno Robot Vision. MIT Press, 1986, cap. 6. IEEE Trans. Circuiti e Sistemi numero speciale sul filtraggio digitale e Image Processing, vol. CAS-2. 1975. Informazioni locali Consigli più generali sull'installazione HIPR locale è disponibile nella sezione introduttiva Informazioni locali.